การวิเคราะห์เชิงตัวเลข: การวัดขนาด: ปกติของเวกเตอร์และเมทริกซ์

ในพีชคณิตเมทริกซ์แบบวนซ้ำ เราต้องใช้กรอบทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดเพื่อวัดขนาดของเวกเตอร์และเมทริกซ์ ข้อมูลเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถตรวจสอบได้ว่าการประมาณค่าใกล้เคียงกับคำตอบจริงหรือไม่ ปกติของเวกเตอร์และเมทริกซ์จะแปลงอาร์เรย์มิติสูงให้เป็นจำนวนจริงบวก โดยคงคุณสมบัติทางพีชคณิตเฉพาะที่จำกัดความคลาดเคลื่อนและรับรองการรวมตัว

โครงสร้างพื้นฐานเชิงสัจพจน์ของปกติ

นิยาม 7.1: ปกติของเวกเตอร์

ปกติของเวกเตอร์ $\|\cdot\|$ ใน $\mathbb{R}^n$ ต้องสอดคล้องกับเกณฑ์สี่ประการ:

ความไม่ลบ: $\|\mathbf{x}\| \geq 0$
ความแน่นอน: $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x} = \mathbf{0}$
ความสมมาตรสัมบูรณ์: $\|\alpha \mathbf{x}\| = |\alpha| \|\mathbf{x}\|$
สมบัติของสามเหลี่ยม: $\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$

มาตรวัดหลัก: $l_2$ และ $l_\infty$

ตามที่ระบุไว้ใน นิยาม 7.2มาตรวัดที่สำคัญที่สุดสำหรับการวิเคราะห์เชิงตัวเลขคือ:

ปกติยูคลิด ($l_2$): $\|\mathbf{x}\|_2 = \{ \sum_{i=1}^n x_i^2 \}^{1/2}$ อย่างเรขาคณิต คือระยะทางสั้นที่สุดจากจุดกำเนิด
ปกติสูงสุด ($l_\infty$): $\|\mathbf{x}\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$ ซึ่งแสดงถึงขนาดสูงสุดขององค์ประกอบเดียว

นิยามเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถนิยามระยะทางระหว่างคำตอบที่ถูกต้อง $\mathbf{x}$ กับการประมาณ $\mathbf{y}$ เป็น $\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ (นิยาม 7.4)

ปกติของเมทริกซ์และการขยายผลที่เกิดขึ้น

ปกติของเมทริกซ์เพิ่มสมบัติที่ห้า "การคูณย่อย" (นิยาม 7.8): $\|A B\| \leq \|A\|\|B\|$

ทฤษฎีบท 7.11: ผลรวมแถวสูงสุด

สำหรับเมทริกซ์ $n \times n$ เมทริกซ์ $A$ ปกติ $l_\infty$ ตามธรรมชาติคำนวณโดยหาค่ามากที่สุดของผลรวมค่าสัมบูรณ์ของแต่ละแถว: $$\|A\|_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|$$

ตัวอย่างการคำนวณ: การคำนวณเวกเตอร์และเมทริกซ์

พิจารณา $\mathbf{x} = (-1, 1, -2)^t$ และ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

ปกติของเวกเตอร์

$\|\mathbf{x}\|_\infty = \max(|-1|, |1|, |-2|) = 2$
$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \approx 2.449$

ปกติ $l_\infty$ ของเมทริกซ์

แถวที่ 1: $|1|+|2|+|-1|=4$
แถวที่ 2: $|0|+|3|+|-1|=4$
แถวที่ 3: $|5|+|-1|+|1|=7$
ผลลัพธ์: $\|A\|_\infty = 7$

🎯 หลักการหลัก

แม้ว่ารูปร่างเฉพาะของการวัดขนาดจะเปลี่ยนไประหว่างปกติแต่ละชนิด ทฤษฎีบท 7.7 รับประกันความเทียบเท่า: การรวมตัวในปกติ $l_\infty$ หมายถึงการรวมตัวในปกติ $l_2$ และกลับกัน

$\|\mathbf{x}\|_\infty \leq \|\mathbf{x}\|_2 \leq \sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty$

คำถามที่ 1

คุณสมบัติใดที่แยกแยะปกติของเมทริกซ์ (นิยาม 7.8) จากปกติเวกเตอร์ทั่วไป?

ความสมมาตรสัมบูรณ์: ||αA|| = |α| ||A||

การคูณย่อย: ||AB|| ≤ ||A|| ||B||

สมบัติของสามเหลี่ยม: ||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||

ความไม่ลบ: ||A|| ≥ 0

คำถามที่ 2

คำนวณปกติ $l_\infty$ ของเวกเตอร์ $\mathbf{x} = (-1, 1, -2)^t$

√6

คำถามที่ 3

ให้เมทริกซ์ $A$ มิติ 3x3 หากผลรวมค่าสัมบูรณ์ของแต่ละแถวคือ 4, 4, และ 7 ตามลำดับ ค่า ||A||∞ เท่ากับเท่าใด?

คำถามที่ 4

ตามอสมการคาชี-บูนยาคอฟสกี-ชวาซ (ทฤษฎีบท 7.3) ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับเวกเตอร์ $\mathbf{x}$ และ $\mathbf{y}$?

Σ x_i y_i ≤ ||x||₂ ||y||₂

Σ x_i y_i ≤ ||x||∞ ||y||∞

||x + y||₂ ≤ ||x||₂ + ||y||₂

||Ax|| ≤ ||A|| ||x||

คำถามที่ 5

หากเวกเตอร์ใน ℝ⁴ มีปกติ $l_\infty$ เท่ากับ 3 ค่าขอบเขตบนที่แน่นที่สุดของปกติ $l_2$ คือเท่าใดตามทฤษฎีบท 7.7?

√3

ความท้าทาย: การรวมตัวและความจำกัดของข้อผิดพลาด

การวิเคราะห์ปกติของเมทริกซ์

วิธีการวนซ้ำผลิตการประมาณ $\mathbf{\tilde{x}} = (1.2001, 0.99991, 0.92538)^t$ สำหรับระบบที่คำตอบที่แท้จริงคือ $\mathbf{x} = (1, 1, 1)^t$ นอกจากนี้ พิจารณาเมทริกซ์ $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \\ 3 & 3 & 7 \end{bmatrix}$ ที่ใช้ในบริบทของการปรับสภาพเมทริกซ์ที่ $C^{-1} = D^{-1/2}$

คำถามที่ 1

กำหนดระยะทาง $l_2$ และ $l_\infty$ ระหว่างคำตอบที่ถูกต้องและคำตอบที่ประมาณ

วิธีทำ:
1. กำหนดเวกเตอร์ความคลาดเคลื่อน $\mathbf{e} = \mathbf{x} - \mathbf{\tilde{x}} = (-0.2001, 0.00009, 0.07462)^t$
2. $\|\mathbf{e}\|_\infty = \max(|-0.2001|, |0.00009|, |0.07462|) = 0.2001$
3. $\|\mathbf{e}\|_2 = \sqrt{(-0.2001)^2 + (0.00009)^2 + (0.07462)^2} \approx \sqrt{0.04004 + 0 + 0.00557} \approx 0.2136$

คำถามที่ 2

คำนวณปกติ $l_\infty$ ของเมทริกซ์ $A$ และอธิบายว่าการปรับขนาดด้วย $D^{-1/2}$ ส่งผลต่อปกติอย่างไร

วิธีทำ:
1. ผลรวมแถวของ $A$: R1: $|3|+|-1|+|1|=5$; R2: $|3|+|6|+|2|=11$; R3: $|3|+|3|+|7|=13$ ดังนั้น $\|A\|_\infty = 13$
2. การปรับขนาดด้วย $D^{-1/2}$ โดยที่ $D = \text{diag}(3, 6, 7)$ จะได้เมทริกซ์ใหม่ $A' = D^{-1/2}A$ แต่ละแถว $i$ จะถูกหารด้วย $\sqrt{a_{ii}}$ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะลดค่าปกติ และทำให้ค่าบนแนวทแยงเป็น $\sqrt{a_{ii}}$ ซึ่งมีแนวโน้มที่จะทำให้ผลกระทบของสมการต่างๆ สมดุลกันในวิธีการวนซ้ำ

คำถามที่ 3

ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน $\| \mathbf{x} \|_{1} = \sum_{i=1}^{n} |x_i|$ สอดคล้องกับสมบัติของสามเหลี่ยมหรือไม่

พิสูจน์:
ให้ $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$
$\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i + y_i|$
ตามสมบัติของสามเหลี่ยมสำหรับสเกลาร์ $|x_i + y_i| \leq |x_i| + |y_i|$ สำหรับแต่ละ $i$
ผลรวมทั้งหมดของ $i$: $\sum |x_i + y_i| \leq \sum (|x_i| + |y_i|) = \sum |x_i| + \sum |y_i|$
ดังนั้น $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \|_1 \leq \| \mathbf{x} \|_1 + \| \mathbf{y} \|_1$ สมบัติถูกต้อง